Skocz do zawartości

Pasywne filtry analogowe – #2 – klocki RLC


Gieneq

Pomocna odpowiedź

Za nami spora dawka matematyki, acz może mało rzeczywistej, a wręcz urojonej! Tym razem coś bardziej praktycznego – przegląd elementów z którymi będziemy mieć styczność, kilka eksperymentów i trochę matematyki – tym razem rzeczywistej.

misi_2.thumb.png.872d66fac955493117a7c4cfdc176528.png

Spis treści

Elementy pasywne

W kursie elektroniki zajmowaliśmy się układami prądu stałego zbudowanych z rezystorów, diod i tranzystorów. To wszystko da się namacać lub zmierzyć multimetrem.

Jak zapewne wiesz z kursów, istnieją elementy pasywne, czyli takie, które nie zwiększają energii, co najwyżej magazynują – kondensatory i cewki indukcyjne. W świecie napięcia i prądu stałego są one trochę niepraktyczne.

Oczywiście możesz w tym miejscu zaprotestować – kondensatory są prawie zawsze obecne choćby w linii zasilania, a i czasem cewki się pojawią. Racja! Ale dlaczego tam są? Podpowiedź: czy jest tam tylko prąd stały?

IMG_9128.thumb.jpg.e4c338e5b190b6b82d714588eeafb440.jpg

Podział elementów

Zanim przejdziemy dalej potrzeba wspomnieć o pewnej podziałologii elementów. O elementach elektronicznych można powiedzieć, że pod względem przetwarzania energii są:

  • pasywne – w nich energia jest finalnie tracona na skutek wewnętrznej rezystancji. Są to np. rezystory, kondensatory, cewki, diody. Co prawda kondensatory magazynują energię w polu elektrycznym, a cewki magazynują energię w polu magnetycznym, ale z racji nieidealności tych elementów, odbywa się to zawsze przy obecności rezystancji, która konwertuje część energii na ciepło (marnuje ją), więc finalnie oddanej energii jest mniej niż pobranej.
  • aktywne – elementy które dostarczają energię, np. układy z tranzystorami, wzmacniacze operacyjne (zbudowane z tranzystorów) i przodkowie tranzystorów – lampy. Warto zaznaczyć – elementy te nie są magicznymi źródłami energii, ich zadaniem jest zmieszanie sygnału i zasobów energii np. z baterii czyli wzmocnienie sygnału. Elementy te nie generują prądu tylko sterują przepływem.

Jakimi elementami będziemy zajmować się w tym artykule? Elementami pasywnymi. Ale to nie koniec podziałologii. Elementy można podzielić też ze względu na przekształcanie sygnału wejściowego na wyjściowy. Istnieją elementy:

  • liniowe – spełniające zasady addytywności i superpozycji. Co ten przepraszam „bełkot” oznacza? Jeżeli na wejście elementu podam sygnał, to na wyjściu uzyskam taki sam kształt, np. sinus na wejściu rezystora da sinus na wyjściu, ewentualnie o innej amplitudzie. Oraz, jeżeli użyję np. 2 rezystorów 2k równolegle, to sygnał po przejściu przez te 2 elementy będzie taki sam jak po przejściu przez równoważny rezystor 1k. Elementy liniowe to rezystory, kondensatory, cewki. Diody nie.
  • nieliniowe – jak się łatwo domyśleć, nie takie jak wyżej. Będą to diody, tranzystory itp. Po czym rozpoznać element nieliniowy? Porównując sygnał na wyjściu z tym na wyjściu coś nie pasuje – sygnał jest np. zniekształcony. O nieliniowości może też świadczyć uskok na charakterystyce.

Dla nieco bardziej wtajemniczonych – są elementy tak jakby liniowe. Jeżeli uda nam się znaleźć przedział w którym charakterystyka jest liniowa, to wokół tego tzw. punktu pracy element zachowuje się liniowo. Mówi się wtedy że jest to element kwasiliniowy.

IMG_9132.thumb.jpg.a1a9372c7b5acd100614faa8697449cf.jpg

Nas będą interesować elementy pasywne liniowe – czyli rezystory, kondensatory i cewki. Potrzebna jest też pewna dawka idealizacji. Każdy z tych elementów w mniejszym lub większym stopniu wykazuje każdą właściwość: rezystancję, pojemność i indukcyjność. W rzeczywistości rozrzut parametrów podzespołów jest zróżnicowany. Najbliższe ideałowi są rezystory – najpewniej dysponujesz egzemplarzami o tolerancji 5%. Dużo gorzej wypadają kondensatory, których rozrzut pojemności to aż 30%!

30% błędu to jakbyś zamiast zasilania 5 V użył 3,3 V, co dość często jest niedopuszczalne.

Kondensatory wykazują też równoległy i szeregowy opór oraz indukcyjność, którymi nie będziemy się zajmować. Cewki indukcyjne często mogą mieć dokładność 5-20%. Trzeba brać pod uwagę istotny wpływ rezystancji szeregowej.

Na nasze potrzeby pomijamy wszystkie zależności i przedstawimy każdy element jako funkcję jego podstawowej właściwości. Taka reprezentacja nazywana jest często modelem.

IMG_9130.thumb.jpg.6b7b4bf2dd792be9de9c7b908c4255df.jpg

Model rezystora

rezystor.thumb.png.1657efbd075b16862aa6c482a35897e4.png

Model rezystora jest banalnie prosty i będzie nam towarzyszył przez wszystkie części artykułu. Wynika z prawa Ohma:

1.thumb.png.840ac8f45744d7f1ff688da16105a2a6.png

Równanie możemy dowolnie przekształcać. Widać, że nie ma tu żadnych skomplikowanych zależności. Element ten jest nieinercyjny – oznacza to, że zmiany prądu od razu przekładają się na zmiany napięcia zgodnie z charakterystyką prądowo-napięciową:

wykres.thumb.png.c6e9833e9a04bc6574bae893443089be.png

O inercji mówimy gdy jakieś ciało nie reaguje od razu na pobudzenie i jest w stanie magazynować energię. Ogrzewane mieszkanie zachowuje się inercyjnie (zmagazynowana energia termiczna), hamujący samochód też (wytracanie energii kinetycznej) itp.

Model kondensatora

kondensator.thumb.png.60806335b052d07046d2c8fbdf3f7633.png

Tu zaczynają się schody, dla niezaznajomionych z matematyką polecam potraktować wzory jako ciekawostkę, w sumie nie przydadzą się (aż tal bardzo) w dalszych rozważaniach, bo wrócimy do świata liczb urojonych. To co teraz będziemy robić nazywa się analizą w dziedzinie czasu i przydaje się głównie patrząc na układ podczas przełączania.

Kondensator jest elementem inercyjnym magazynującym energię w polu elektrycznym. Jeżeli kondensator o pojemności C ma na swoich zaciskach napięcie U to zgromadził ładunek Q, co można wyrazić wzorem:

4.png.0406cc047dbe91ea1f34c42ae1e794b1.png

Raczej nie posługujemy się takim wzorem, ale wiemy, że ładunek przepływający w czasie to natężenie prądu, które jest już dobrze znane. Zatem obie strony równania różniczkujemy uzyskując:

2.thumb.png.93fea4df4b7b8adbbe173554fb535e38.png

I co z tym? Jest to wyrażenie liniowe, tylko że prąd nie zależy od napięcia tylko od zmiana napięcia – jego pierwszej pochodnej.

Na fizyce może kojarzysz, że pochodną drogi jest prędkość (czyli zmianą drogi w czasie), a drugą pochodną drogi jest przyspieszenie. Są nawet dalsze pochodne jak zryw czy udar 🙂 

Jak użyć taki wzór? Można go odczytać tak:

Cytat

Jeżeli napięcie na kondensatorze o pojemności C będzie zmieniać się o 1V/s to prąd wyniesie 1A.

Oczywiście napięcie może być tym co obserwujemy, zatem można też powiedzieć tak:

Cytat

Jeżeli do kondensatora o pojemności C doprowadzamy prąd o natężeniu 1A, to napięcie będzie rosło o 1V/s.


IMG_9129.thumb.jpg.f906dad12f4f65e1fb63812d9c2d0f78.jpg

 

Układ z kondensatorem – przykład

W kursie elektroniki jest przykład z rozładowywaniem kondensatora. Zróbmy coś podobnego, ale tym razem bez LED (który jest elementem nieliniowym trudnym w analizie).

Budujemy układ, zamiast przycisku można zwyczajnie zewrzeć kabelki:

schemat.thumb.png.e55892b142a293355747081297986e50.png

Następnie podłączamy zasilanie i patrzymy na napięcie:

img3.thumb.jpg.4ccd72f955c5427f880cc70945c32472.jpg

Napięcie będzie rosnąć ale niejednostajnie – najpierw szybko, a później coraz wolniej aż osiągnie takie napięcie jak zasilanie.

Obserwacje na mierniku są dobre dla bardzo wolnozmiennych procesów. Tu jest to możliwe, ale pełny obraz uzyskamy na oscyloskopie. Podłączam 2 sondy zgodnie z rysunkiem:

schemat2.thumb.png.9d468ad079b50186f7472a14ba4a97d0.png

Ustawiam dodatkowo odejmowanie kanałów – różnica napięć to napięcie na rezystorze, które podzielone przez rezystancje da prąd płynący w obwodzie.

image.thumb.png.7abb395c49820874e6e7fbdf65a81fa8.png

Jak widzimy napięcie rośnie, a prąd maleje. Przebiegi te nazywamy eksponentami, a charakter procesów: ekspotencjalnym lub wykładniczym. Jest to zgodne z teorią. Porównujemy prąd płynący przez kondensator o napięciu UC, z prądem płynącym przez rezystor wynikający z różnicy potencjałów:

3.thumb.png.359a96357c4bb179298d9fd0841219a5.png

Uzyskaliśmy równanie, w którym po jednej stronie stoi funkcja Uc(t), a po drugiej jej pochodna. Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja, której pochodna będzie proporcjonalna do samej funkcji. Jaka to może być funkcja?

Jedyna funkcja której pochodna jest proporcjonalna do samej funkcji, czyli taka, że szybkość zmian jest identyczna z wartością to właśnie funkcja wykładnicza o charakterystycznej wartości podstawy – liczbie Eulera e ≈ 2,718. Liczba e jest podstawą analizy wielu zjawisk, a także jak już zauważyłeś odgrywa ważną rolę w świecie liczb urojonych, dlatego postaraj się przyswoić ją sobie.

Wracając do równania, odpowiedzią będzie funkcja:

6.thumb.png.6cbc5c18a9ab1d1f3dfd6976bd60e8be.png

Dla początkowej chwili t = 0 funkcja zwraca wartość 0, po chwili t=RC wykładnik eksponentu przyjmuje wartość -1 i funkcja zwraca wartość 1 – 0.367 ~ 0.63. Czas RC jest nazywany stałą czasową określającą szybkość zmian w układzie i wyznacza się tę stałą w momencie, gdy napięcie wzrośnie do 63% wartości maksymalnej:

image.thumb.png.544cbd9d8fad078f2c69e2bd85a6a9e1.png

Dlatego też można zauważyć, że ładowanie na początek jest bardzo szybkie, a doładowanie kondensatora do końca zajmuje dużo czasu. Przyjmuje się że po czasie 5RC kondensator jest w pełni naładowany, choć w teorii nigdy to nie nastąpi 😉 

Czas 212 ms różni się od teoretycznego 220 ms. Rezystor ma opór dokładnie 991R, stąd kondensator 220uF ma w rzeczywistości pojemność 213uF:

5.thumb.png.8650a96f8670bc8090cbe1642f71df89.png

Jest to akceptowalny błąd.

IMG_9125.thumb.jpg.77e9bdf195371ac0cc7bf0d7a2034b9b.jpg

Model cewki indukcyjnej

cewka.thumb.png.cc11a545a7ae68461cec19c469e42a61.png

Cewka indukcyjna jest elementem podobnym do kondensatora. Energię gromadzi w polu magnetycznym, a zmiany, tym razem prądu, powodują powstanie różnicy potencjałów, czyli napięcia. Podczas gdy kondensator traktujemy jako zwarcie dla sygnałów zmiennych, cewka jest zwarciem dla prądu stałego. Cewka jest elementem bardziej nieidealnym od kondensatora, przez co tuż obok indukcyjności bardzo ważny jest szeregowy opór, który przekłada się na maksymalną moc, którą może oddać zwój drutu cewki.

Wzór jest podobny co dla kondensatora:

7.png.3af440e84f8beca36093b4028f3a84d2.png

I można go odczytać następująco:

Cytat

Jeżeli prąd płynący przez cewkę o indukcyjności L będzie zmieniać się o 1A/s to napięcia na zaciskach wyniesie 1 V.

Lub odwrotnie:

Cytat

Jeżeli na zaciskach cewki o indukcyjności L występuje napięcie 1V to płynący w niej prąd będzie zwiększał swoje natężenie o 1A/s

IMG_9127.thumb.jpg.f709491ae08bf651bb8c3153c0700b5c.jpg

Układ z cewką indukcyjną – przykład

Podobnie jak z kondensatorem, sprawdźmy jak cewka zachowuje się przy przełączaniu. Zbudujmy następujący układ z rezystora 47R i cewką 940uH:

schemat3.thumb.png.5fc3cd1673811e9a5b206934334c3cdb.png

Jakie powinno być zachowanie układu? Podobnie jak ostatnio znajdźmy funkcję, która będzie spełniać równanie cewki. Wyjdźmy od opisu napięć w oczu:

8.thumb.png.6ebb636ad31fcc0774cbf3309a3c5fc4.png

Rozwiązaniem będzie znowu funkcja wykładnicza, tym razem dla prądu, postaci:

9.thumb.png.8abcc9e7a277c84c8a178db048977c72.png

Z tego wzoru można wywnioskować, że początkowo w chwili t=0 prąd będzie zerowy. Po czasie t = L/R wykładnik eksponentu uzyska wartość -1 i prąd osiągnie 63% wartości maksymalnej. W nieskończoności, czyli po około 5 stałych czasowych, wartość prądu ustabilizuje się na poziomie napięcia zasilania podzielonego przez rezystancję R. Czyli cewka przestanie stawiać opór (pomijając rezystancję drutu).

Dla podanych wartość R i L stała czasowa wyniesie:

10.thumb.png.562b9732421cef9a56dd0ba11ce2d335.png

Jak to wygląda w praktyce? Spójrzmy na oscylogram:

image.thumb.png.3abc50297fcf0f8f44fd2d4cae90cbac.png

Stała czasowa około 4,1 us to całkiem poprawny wynik.

Zakłócenie na początku wynika z użycia przycisku, drgania styków generują szybkie zmiany prądu. Można też zauważyć delikatne przestrzelenie (tzw. overshoot) napięcia, o tym za chwilę.

Patrząc na wzór na stałą czasową można dojść do wniosku, że układ będzie wolniejszy po zmniejszeniu rezystancji. Jest to coś nowego, bo w układzie z kondensatorem zachowanie było odwrotne. Podłączmy zatem rezystor 47R:

image.thumb.png.45fa1717ce88967012fd0a158389099b.png

Teoretyczna stała czasowa faktycznie wzrosła po spadku rezystancji:

11.thumb.png.bbbc7156f7bd98dd32e55bc3db494513.png

W praktyce wyszło 15 us. Nie tak źle.

Taki rozrzut pomiarów pokazuje, że w układach RLC warto brać pod uwagę sporą niedoskonałość elementów. Błędy:

  • 5% rezystancji,
  • 20% indukcyjności,
  • 30% pojemności,

są akceptowalne, więc gdy wynik jest dość dokładny, to mamy sporo szczęścia 🙂

image.thumb.png.fb1500a45260af893aeb601e91f76866.png

Zwiększanie napięcia

Zwróciłem uwagę na ciekawe zjawisko – przy przełączeniu prądu cewki udało się uzyskać przebicie stanu ustalonego. Cewki indukcyjne potrafią zwiększyć napięcie!

Spójrzmy na kondensator – zmiana napięcia (ograniczona zasilaczem) generuje przepływ prądu. Można więc uzyskać dość duży prąd gdy nastąpi duża zmiana. W przypadku cewek zależność jest odwrotna – zmiana prądu (ograniczona wydajnością prądową zasilacza) generuje napięcie. I tu pojawia się kluczowa własność cewek stosowana w przetwornicach napięcia. Jeżeli zmiana prądu będzie duża i szybka, to można uzyskać napięcie większe niż napięcie zasilania!

Zbudujmy układ w którym zobaczymy ten efekt:

shemat4.thumb.png.f28955bd0e3bbca9934bbafa303ab259.png

Zwracam uwagę na położenie przełącznika - tym razem służy do wyłączania.

Po odłączeniu pomiędzy cewką a rezystorem będzie „zamknięty” prąd, który zacznie oscylować zgodnie z częstotliwością rezonansową układu i powoli gasnąć przez straty na rezystancji:

image.thumb.png.c2f3f672f6fdcc24b4e5aeb9a920ae31.png

Mierząc napięcie oscyloskopem należy przełączyć impedancje sond tak by zmierzyć napięcie uwaga… ponad 100V! Amplituda wynosi 2 działki, czyli 100V, a wartość międzyszczytowa 200V.

Rzeczywisty kondensator a cewka indukcyjna

Cewki indukcyjne są elementami raczej rzadziej używanymi przez początkujących elektroników, ze względu na trudność w zaobserwowaniu efektów działania. Przykład zaobserwowania działania można znaleźć w kursie elektroniki poziom 1:

image.thumb.png.be6cd0c6f56e6383a36ba40d6ce51eee.png

W przypadku kondensatorów efekt jest banalny – zmagazynowanie ładunku i oddanie prądu.

Cewki indukcyjne są trochę trudniejsze w namacaniu. Można je traktować jak rezystor, który po włączeniu wykazuje dość duży opór, ale z upływem czasu zaczyna płynąć coraz większy prąd (opór maleje), na zaciskach jest coraz mniejszy spadek napięcia, aż ostatecznie przez cewkę płynie prąd ograniczony jedynie szeregową rezystancją.

Cewki charakteryzują się szeregową rezystancją przewodnika, z którego są wykonane. W porównaniu do kondensatorów, które można zniszczyć zbyt wysokim napięciem, cewki łatwiej przypadkowo zniszczyć pozwalając na przepływ większego prądu. Na niewielkim oporze naładowanej cewki odkłada się pewne napięcie, stąd wydziela się energia cieplna.

Dla kondensatorów dwa najbardziej oczywiste parametry to pojemność i maksymalne napięcie. Próba zwiększenia tych parametrów wiąże się ze zwiększeniem rozmiarów elementu. W dalszej kolejności myślimy o tym co czyni kondensator nieidealnym elementem – współczynnik ESR oznaczający wypadkową rezystancję szeregowej rezystancji i indukcyjności. ESR wpływa nie tylko na prąd ładowania, ale powoduje także wydzielanie się ciepła, stąd kondensator może się grzać zwłaszcza przy wyższych częstotliwościach i wyższych prądach.

image.thumb.png.3afdd4215b737e4b53c3e0f7bbde4073.png

Warto jeszcze wspomnieć o prądzie upływu wynikającym z istnienia równoległej rezystancji – przez nią kondensator z czasem traci zgromadzony ładunek i może płynąć przez niego prąd stały.

Dla porównania cewki indukcyjne tuż obok swojego głównego parametru – indukcyjności, zawsze mają wyróżniony szeregowy opór:

image.thumb.png.13844d02cac8662990df7e5d75d54712.png

Chcąc uzyskać cewkę o większej indukcyjności należy nawinąć więcej zwojów, co przekłada się na gabaryty. Można jednak użyć cieńszy drut nawojowy co z drugiej strony zwiększy szeregową rezystancję cewki, ograniczy prąd i zwiększy oddawane ciepło.

Podsumowanie

Mam nadzieję, że udało mi się nakreślić tematykę rezystorów, kondensatorów i cewek w kontekście tego czym będziemy zajmować się w dalszych częściach.

Jak wspomniałem, matematyka stojąca za fizycznymi modelami nie jest aż tak potrzebna, ostatecznie będą potrzebne tylko wybrane wzory i obserwacje. Warto jednak przynajmniej kojarzyć jak wyglądają wzory i od czego zależą.

  • Lubię! 1
Link do komentarza
Share on other sites

Bądź aktywny - zaloguj się lub utwórz konto!

Tylko zarejestrowani użytkownicy mogą komentować zawartość tej strony

Utwórz konto w ~20 sekund!

Zarejestruj nowe konto, to proste!

Zarejestruj się »

Zaloguj się

Posiadasz własne konto? Użyj go!

Zaloguj się »
×
×
  • Utwórz nowe...

Ważne informacje

Ta strona używa ciasteczek (cookies), dzięki którym może działać lepiej. Więcej na ten temat znajdziesz w Polityce Prywatności.