Pasywne filtry analogowe – #1 – liczby zespolone

[Gieneq]

Zastanawialiście się kiedyś, dlaczego czasem na schemacie jest rezystor 10k, a innym razem 100k? Czym jest rezystancja wyjściowa? Dlaczego kondensator włączony w tzw. sieć nie zużywa mocy? Albo dlaczego filtr dolnoprzepustowy tłumi niskie częstotliwości?

Te pytania ostatnio zaczęły mnie nurtować. Znam wzór na częstotliwość graniczną i w praktyce faktycznie działa. Ale wystarczyło, że połączyłem szeregowo dwa filtry i już stwierdziłem, że nie wiem jak się zachowają.

Wiedzieć czego się nie wie to połowa sukcesu. Lekcje odrobione i w ramach utrwalenia chcę podzielić się tym co mnie samego zaciekawiło. Zatem zacznijmy od szybkiego wprowadzenia/przypomnienia tematu liczb zespolonych – bez tego za daleko nie zajdziemy w elektronice analogowej.

Spis treści

• #1 – liczby zespolone (czytasz ten artykuł)
• #2 – klocki RLC
• #3 – ...

Liczby zespolone

Inna nazwa liczb zespolonych – liczby urojone, budzi wśród studentów kierunków technicznych spore emocje. Podobno, gdy po raz pierwszy zaczęto wprowadzać je do programu nauczania, było skandalem uczenie czegoś co w zasadzie nie istnieje. Z drugiej strony niektórzy uważają matematykę za najbardziej "humanistyczny" przedmiot ścisły. W sumie nie ma co się dziwić, zbudowano ją poniekąd na filozofii, a współczesne rozważania tylko bardziej rozbudowują ten świat abstrakcji.

Dlatego pomijając to czy liczby zespolone mają prawo bytu, potraktujmy je jako pewne narzędzie przydatne w analizie układów elektrycznych.

Czym są liczby zespolone? Liczby rzeczywiste (opisane ozdobną literką R) można przedstawić w postaci nieskończonej osi liczb. Znajdą się na niej takie egzemplarze jak: 0, 2, -100, 1,2, 0,(3) czyli 1/3, liczba PI, liczba Eulera i nieskończenie wiele innych innych zlepków cyfr.

Okazało się, że nieskończenie wiele liczb to wciąż za mało, żeby opisać niektóre zjawiska, dlatego wprowadzona została koncepcja rozszerzenia liczb rzeczywistych na liczby zespolone, w których każda liczba urojona składa się z 2 uporządkowanych części:

• części rzeczywistej,
• części urojonej.

Część rzeczywistą można traktować jak zwykłą liczbę rzeczywistą. Część urojona jest dodana, tak aby liczba nie była tylko jednowymiarowym punktem na osi, lecz punktem na dwuwymiarowej płaszczyźnie (opisywanej ozdobną literą C). Dlaczego nie można zapisać liczby zespolonej tak jak zwykły punkt o współrzędnych (x, y)?

Liczba zespolona to znacznie więcej niż punkt na płaszczyźnie. Choć mają coś wspólnego czyli dwie współrzędne, to operacje jakie można na nich wykonywać są dużo bogatsze dzięki jednostce urojonej. Dowolną liczba urojona z (często wyróżniona boldem, kreską pod spodem lub daszkiem nad) można zapisać jako sumę części rzeczywistej a i części urojonej b przemnożonej przez liczbę urojoną i zdefiniowaną jako:

Właśnie dzięki temu liczby urojone są czymś więcej niż punktami na płaszczyźnie.

W ramach dygresji – skąd w definicji pierwiastek? Czy w szkole na matematyce rozwiązując równanie kwadratowe trafiłeś na zadanie, w którym brzydka delta wyszła ujemna i trzeba było napisać "Nie da się nic z tym zrobić"? To kłamstwo! Nawet banalny przypadek f(x) = x² + 1 ma 2 miejsca zerowe, są nimi x₁ = i oraz x₂ = -i.

Sposobów na zapisanie liczby zespolonej jest wiele, najprostsza to wcześniej opisana postać algebraiczna. Przykładem może być liczba z należąca do płaszczyzny zespolonej:

Do konkretnej części liczby zespolonej odnosimy się w następujący sposób. Część rzeczywista nazwana Realise:

oraz część urojona nazwana Imaginary:

Jak widać podając część urojoną pomijamy jednostkę urojoną i.

Do graficznej reprezentacji liczb może posłużyć płaszczyzna zespoloną. Przykładowo liczbę:

można graficznie przedstawić następująco:

Na osi poziomej umieszczamy część rzeczywistą, zaś na osi pionowej część urojoną.

Dlaczego na wykresie jest zamiast i litera j? W elektryce i jest zarezerwowana dla prądu, więc żeby się nie pomylić, będziemy używać litery j.

Algebra liczb zespolonych

Nie da się zmieścić całej książki w jednym artykule, dlatego pominę wiele ważnych aspektów, a przedstawię kilka przykładów tego co można zrobić z liczbami urojonymi. Weźmy wiec 2 liczby:

widoczne jako punkty:

Dodawanie – w postaci algebraicznej sumujemy części rzeczywiste i urojone:

Jak widać dodawanie to coś podobnego do dodawania wektorów w 2D – przesuwa punkt wskazywany przez wektor.

Mnożenie – podobnie jak przy wyrażeniach zwykłej algebry, mnożymy „każdy z każdym” i porządkujemy uwzględniając jednostkę urojoną.

Uwaga! Pamiętamy o definicji jednostki urojonej i konsekwencjach mnożenia.

Jaki jest graficzny efekt?

Kompletnie losowy? Absolutnie nie! Dodawanie służyło do translacji (przesuwania), mnożenie służy do rotacji (obracania). Więcej o tym jak poznamy czym jest moduł i argument.

Sprzężenie – tego nie było na matematyce… operacja ta zmienia znak części urojonej czyli odbija liczbę od osi liczb rzeczywistych:

i graficznie:

Moduł – można zauważyć na wykresach czerwony odcinek oznacza odległość od punktu (0 + 0i). Moduł to nic innego jak odległość punktu wyrażania odpowiednikiem twierdzenia Pitagorasa, zapisywany jak długość:

Innym sposobem wyznaczenia modułu jest użycie sprzężenia:

W ten sposób uzyskamy kwadrat modułu (często wystarczający do obliczeń).

Argument (główny) – dowolny punkt na płaszczyźnie można przedstawić w tzw. układzie polarnym (lub biegunowym) współrzędnych, gdzie punkt (x, y) reprezentuje się odległością r od początku układu współrzędnych, czyli modułem i kątem φ nazywanym argumentem głównym.

Kąt φ zdefiniowany jest dowolnym wzorem trygonometrycznym np.:

Czy zauważasz związek z niespodziewanym wynikiem mnożenia?

Inne reprezentacje liczb zespolonych

Jak wspomniałem, na postaci algebraicznej świat się nie kończy. Co więcej, nie jest ona zbyt praktyczna. Istnieją lepsze formy zapisuj liczb pomiędzy którymi możemy łatwo przechodzić:

• postać trygonometryczna,
• postać wykładnicza.

Obie formy bazują na wspomnianym układzie polarnym (r, φ) i znakomicie ułatwiają opis czegoś co zachowuje się cyklicznie… jak napięcie przemienne w sieci 230 V.

Postać trygonometryczna

Liczba zespolona jest tu dana wzorem:

Uwaga! Nie mylmy cosinusa i sinusa z przebiegiem rzeczywistego napięcia przemiennego, to jeszcze nie to.

Postać wykładnicza

Teraz najważniejsza postać liczby zespolonej, która znakomicie ułatwia reprezentację rotacji. Dowolną liczbę zespoloną z zapisujemy następująco:

Jest to skrócony zapis trygonometryczny o ogromnych możliwościach. Zanim przejdziemy dalej pytanie: jak wygląda mnożenie dwóch potęg o identycznych podstawach?

Czyli wykładniki potęg sumują się.

Gdybyśmy dzielili 2 potęgi to jest to operacja mnożenia, ale w której wykładnik dzielnej jest z minusem, więc:

wykładniki się odejmują. To samo można zrobić w świecie liczb urojonych! Więc gdy mnożymy dwie liczby urojone:

to wynikiem będzie iloczyn modułów i eksponent z sumą argumentów w wykładniku:

To jak interpretować dzielenie? Podobnie jak w przykładzie z potęgami liczby 2. Dzieląc tak naprawdę mnożymy tylko że w wykładniku potęgi będzie przeciwny znak. Co przeciwny znak będzie oznaczać dla argumentu? Przeciwny kierunek rotacji. Moduł ulegnie przeskalowaniu.

Przejścia pomiędzy reprezentacjami

Widzimy zatem, że mamy kilka sposobów reprezentacji liczb zespolonych, pomiędzy którymi możemy przechodzić posługując się pojęciem modułu i argumentu. Przećwiczmy jeszcze raz dla utrwalenia na przykładzie.

Ćwiczenie 1

Wyznacz postać trygonometryczną i postać algebraiczną posługując się postacią wykładniczą:

Od razu widzimy moduł i argument:

Przejście do postaci trygonometrycznej to zwyczajne podstawienie do wzoru:

Dla nieco bardziej wtajemniczonych przejście do postaci algebraicznej będzie intuicyjne. Dla bardziej początkujących polecam zapoznanie się ze współrzędnymi biegunowymi/polarnymi.

Wymnażamy to co można, przeliczamy funkcje trygonometryczne i otrzymujemy:

Jak przejść od razu z postaci wykładniczej do algebraicznej?

Ćwiczenie 2

Zamień postać wykładnicza liczby z na postać algebraiczną:

Czyli:

Zgadza się, argument -0,5PI to liczba zespolona na dolnej osi urojonej. Nieco zmniejszając argument trafiamy na lewą dolną ćwiartkę płaszczymy zespolonej, dla której obie współrzędne są ujemny.

Podsumowanie

W tej części pokrótce przedstawiłem podstawy algebry zespolonej. Liczby te są podstawą dalszych rozważań i sprawne poruszanie się będzie niezbędne. Najważniejsze aby przyswoić sobie, że:

• pierwiastek z liczby i to -1,
• liczby zespolone mogą reprezentować obrót (tak jak układ polarny),
• mnożenie to obrót, w którym dodajemy argumenty liczb i skalujemy moduły,
• moduł i liczba zespolona to nie to samo (choć w literaturze często się to myli przy edycji tekstu).

Obrót przez mnożenie będzie przydatny do reprezentacji napięcia przemiennego, więc naprawdę zachęcam do przećwiczenia tego tematu, żeby nikogo nie zaskoczył moment w którym zapomnimy że prąd w gniazdku ma przebieg sinusoidalny, a skupimy się na zespolonych amplitudach i wartościach skutecznych.

Notatnik google colab ze skryptem do rysowania liczb zespolonych w Pythonie: Filtry_1.zip

 

Edytowano Kwiecień 7, 2022 przez Gieneq

[StefanekP]

Fajny artykuł, niestety zupełnie nie dla osoby, kończącej podstawówkę☹️ . Przynajmniej już wiem dlaczego wolę elektronikę cyfrową i mikrokontrolery😉.

[Gieneq]

@StefanekP haha noo trochę tak. Artykuł był zainspirowany książką "Sztuka elektorniki", która jest naprawdę genialnym przeglądem wszystkiego, ale wbrew zarzekaniu się, że tłumaczy się przez praktykę to jest bardzo trudną lekturą. Pomimo 12 rewizji jest sporo błędów, a tok rozumowania bywa pokrętny - np. wprowadzono diodę Zenera jako coś podobnego do rezystora, a później diodą Zenera wytłumaczono co to dioda LED 😄 to tak jakbyś tłumaczył komuś czym jest kot pokazując zdjęcie jakiegoś małoznanego zwierzęcia ze środka lasu tropikalnego.

Sami autorzy piszą, że nie potrzeba wiele matematycznych szczegółów i jest w tym trochę racji, bo przez rozrzut dokładności elementów niektóre obliczenia są bardzo przybliżone - 30% błędu na kondensatorze, 10% na rezystorze, to czego oczekiwać.

Czy jest to tak bardzo potrzebne, moim zdaniem tak, ale nie na każdym etapie. Jeżeli uznasz że np. przerasta cię impedancja bo korzysta z liczb zespolonych, to zawsze masz ogólne wskazówki projektowe i wzory wyjściowe np na częstotliwość graniczną czyli podejście inżynierskie. Takich metod używa się np. w audio, gdzie raczej mało który pracownik warsztatu zna się na matematyce, ale może orientować się, że coś ma ileśtam razy spaść albo byc podobne do wykresu czegoś 🙂 Pod koniec bedzie praktyka i postaram się podać takie sposoby.