FAQ Napięcie, prąd, rezystancja – inżynierskie podejście

Gieneq · Styczeń 1, 2021

Wstęp

Pierwszy wzór jaki poznają kursanci to nieśmiertelne prawo Ohma – prosta formułka, a ile potrafi nastręczyć problemów. Przeglądając wpisy zauważyłem, że wiele osób co prawda rozumie jak coś obliczyć, ale nie ma takiej intuicji, że coś jest duże, coś małe, tu płynie taki prąd, a tu taki, albo jak dołożę równolegle rezystor to na pewno opór zastępczy spadnie, a ile? No i szukamy kartki i ołówka.

W tym artykule postaram się podzielić swoimi metodami na poradzenie sobie z kilkoma typowymi przypadkami, dzięki którym można oszacować pewne wartości. Wynikają one z obserwacji i analogii. Z pewnością każdy ma swoje metody, więc zachęcam do podzielenia się nimi w komentarzach

Wybrane zagadnienia

Przykładowe przypadki, w których można posłużyć się pewną intuicją:

Mam rezystor w kiloomach, przykładam napięcie w woltach, wynikowy prąd jest w ...
Do rezystora dodałem równolegle kolejny, jaki będzie miał wpływ na rezystancję zastępczą?
Zbudowałem dzielnik napięcia, zmienię jedną z rezystancji i co wyjdzie?
Elementy które mam nie są takie jak na schemacie, czy mogę je użyć?

Dotknięcie prądu

Po zapoznaniu się z prawem Ohma opisanym w kursie elektroniki 1, każdy powinien być w stanie wyznaczyć opór rezystora dysponując:

wartością napięcia jakie odkłada się na zaciskach (nóżkach) rezystora,
wartością prądu jaki przepływa przez rezystor.

Problem pojawia się jednak z wyobrażeniem sobie co tam się właściwie dzieje, nabraniem intuicji, określeniem co jest duże a co jest małe, "dotknięciem prądu" tak by stał się bardziej rzeczywisty. Dlatego w tym śródtytule postaram się nakreślić jak można spróbować wyobrazić sobie wielkości elektryczne i nabrać intuicji w wyznaczaniu (szacowaniu) wartości.

Prąd a rezystancja

Efektem działania rezystora jest ograniczenie płynącego prądu (no i grzanie się), zatem dla naszego źródła napięcia i dobranego rezystora możemy wyznaczyć jaki będzie płynął prąd. I o ile same obliczenia nie są trudne, to łatwo się zamotać w rzędach wielkości.

Podstawowym sposobem poradzenia sobie z różnymi rzędami wielkości (przedrostkami) jest sprowadzenie jednostki wartości do jednostki podstawowej, np. mam kiloomy to sprowadzam do tysięcy omów, a w zamiast miliamperów piszę tysięczne części ampera. Jak ktoś lubi zapis z potęgami 10 to ładnie to zawrze i wyjdzie poprawny wynik, który można znowu zamienić na jakiś rząd wielkości dodając odpowiedni przedrostek. Da się tu jednak zastosować pewien skrót myślowy.

Zacznijmy od tego z czym mamy do czynienia. Początkujący jest najczęściej zaopatrzony w:

źródło napięcia stałego (np. bateria 5 V), czyli w obliczeniach operujemy podstawową jednostką [V],
rezystory od pojedynczych omów do megaomów, czyli w obliczeniach pojawiają się 2 kolejne rzędy wielkości 1000 = 10³ [kΩ] i 10⁶ [MΩ] .

Wziąłem baterię 5 V, rezystor 1 Ω i jaki popłynie prąd? Nic nie zamieniamy, tu wolt, tu om i wychodzi:

R = U/I = 5 V / 1 Ω = 5 A

W elektronice z jaką zmaga się kursant taki prąd to jest już coś! Tylko 2 uwagi:

choć z teorią nie podyskutujemy to praktyka może zaskoczyć – 5 A może nie popłynąć, bo wydajność prądowa źródła może być za mała (np. ładowarka do telefonu może dostarczyć maksymalnie 5 V i 3 A), podobnie pakiet kilku baterii raczej nie da rady dać 5 A,
rezystor ma swoje ograniczenia związane z wydzielaną mocą – 5 V i 1 A ta aż 5 W, która wydzieli się w formie ciepła, a mały rezystor z kursu poradzi sobie tylko z 1/4 W mocy.

A gdyby chcieć namacać prąd 5A, to duże to? Wspomniana ładowarka 5V 3A może rozgrzać się, gdy podłączymy do niej prawie rozładowany tablet – w końcu 5V i 3A to aż 15W mocy, tyle ile porządna lampa LED, słaba lampa energooszczędna, lub bardzo słaba żarówka. Niejeden laptop zużywa 15–20 W mocy. 5 A to naprawdę spory prąd. Początkujący może spotkać się z takim prądem przy sterowaniu większym silnikiem, żarówką, lub długą taśmą LED.

Można zauważyć, że jeżeli mam napięcie rzędu pojedynczych woltów i rezystor rzędy pojedynczych omów, to wynik też będzie rzędu kilku amperów, czyli prąd będzie duży!

Kolejny przypadek – źródło napięcia to samo (5 V), ale rezystor już 1 kΩ, jaki będzie prąd?

R = U/I = 5 V / 1 kΩ = 5 V / 1000 Ω = 0,005 A = 5 mA

Ajj... dziwnie wygląda, łatwo się pomylić. To może taki zapis będzie lepszy, nie ma tylu zer:

R = U/I = 5 V / 1 kΩ = 5 V / 10³ Ω = 5 * 10^-3 A = 5 mA

Można zapamiętać, że gdy wyznaczamy prąd dysponując napięciem w podstawowej jednostce i oporem rzędu kiloomów to wynik będzie w miliamperach.

Opornik kiloomowy jest już dość duży, stosuje się taki np. przy ograniczaniu prądu płynącego przed LED. Choć może wydawać się, że taki prąd jest znikomy, to w elektronice jest to prąd użytkowy. Z takim prądem będziemy pracować w elektronice cyfrowej lub przy sterowaniu tranzystorami BJT małej mocy.

Z drugiej strony prąd ten można uznać za dość duży, gdy myślimy o układach zasilanych z baterii. Gdyby mieć akumulator 2500 mAh, który ma całkiem sporą pojemność, to przy stałym poborze 5 mA rozładuje się po 500 godzinach czyli po niecałych 3 tygodniach. Znowu pytanie czy to dużo? Zależy!

Jeżeli zbudujemy bezprzewodową klawiaturę zasilaną z baterii, to ładowanie co 3 tygodnie może być uciążliwe. To ile powinna pobierać prądu taka klawiatura?

Klawiatura przy pomocy której pisze ten tekst wymaga wymiany baterii co około 6 miesięcy (załóżmy że w czasie pracy i uśpienia pobór prądu jest ten sam):

2500 mAh / 4320 h ≈ 0,579 mA = 579 µA

Mikroampery [µA] to już naprawdę mało. Mikroampery osiągniemy dysponując napięciem w podstawowej jednostce i oporem rzędu megaomów.

Właśnie weszliśmy w rząd wielkości prądu przeznaczonego dla urządzeń zasilanych z baterii. Zaś rezystory przez które płyną mikroampery możemy spotkać w dzielniku napięcia służącego do przeskalowania napięcia na akumulatorze, tak by możliwy był pomiar przy pomocy układu dostosowanego do niższych napięć (np. pomiar 12 V na akumulatorze samochodowym przy użyciu 5 V ADC Arduino). W takiej sytuacji istotny jest możliwie mały pobór prądu.

Podsumowanie

Myśląc o wielkościach występujących w elektronice takich jak prąd, napięcie i opór oraz o ich wartościach dobrze jest wyobrażać sobie konkretne przypadki z życia. Dobrze jest też wiedzieć, np. jaki rząd wielkości prądu uzyskamy dla danego rezystora, dzięki temu unikniemy błędów w obliczeniach.

Połączenie 2 rezystorów

Na początek oczywista prawda: im większa rezystancja tym mniejsza "przepustowość" – mniejszy prąd (duży opór mały prąd, mały opór duży prąd).

Połączenie szeregowe

W połączeniu szeregowym dokładając dodatkowy rezystor, nieważne jaki ma opór (duży czy mały), opór zastępczy będzie większy (stąd prąd płynący w szeregu będzie mniejszy). Jak można to sobie wyobrazić? Posługując się analogią wodną można wyobrazić sobie 2 kryzy (zwężki), jedna stawia opór, ale dokładając kolejną jeszcze bardziej zwiększamy opór. A jak to się ma w połączeniu równoległym? Najpierw krótka dygresja.

13 to nieskończoność

Jak byłem na studiach podczas wykładów z tak zwanego M&Ms pan profesor opowiadał o modelach matematycznych. Gdy doszedł do tematu inercji i stałej czasowej powiedział, że gdy widzi, że obiekt ma stałą czasową 13 to jest to nieskończoność. Skąd taki pomysł? Gdy wartość jest duża, daleko odchodzi od pozostałych, dla ułatwienia analizy (nie wyznaczenia wyniku, tylko samej analizy), można przyjąć pewne wartości graniczne. Do wartości granicznych możemy zaliczyć 0 i nieskończoność.

A w elektronice kiedy można posłużyć się takimi uproszczeniami? Na pewno spotkamy się z tym podczas dokonywania pomiarów multimetrem. Gdy przyrząd pracuje w roli:

amperomierza to zależy nam aby w połączeniu szeregowym nie wprowadzał zaburzeń swoim oporem prądu, zatem jego opór jest pomijany i wynosi 0 Ω,
woltomierza to zależy nam aby w połączeniu równoległym nie zaburzał swoim oporem napięcia, zatem jego opór jest nieskończony.

Podobnie można uznać, że rozwarcie jest rezystorem o nieskończonym oporze, bo przez powietrze nie płynie prąd i nie wpływa na różnicę potencjałów pomiędzy dwoma punktami. Bogatsi o te uwagi ruszamy dalej!

Połączenie równoległe

To jak wyobrazić sobie połączenie równoległe rezystorów? Znowu posłużmy się analogią wodną ale tym razem tą opisaną w kursie dotyczącym prawa Kirchhoffa i rozkładu prądów w węzłach – rzeka z rozwidleniem.

Z jakiegoś ogromnego zbiornika (o nieograniczonym wydatku wody) wypływa rzeka. Płynie nią tyle wody ile jest w stanie pomieścić koryto rzeki.

Przy rzece wykopano wąski kanał. Jak zmieni się przepływ? Woda zignoruje kanał? No nie...

Co prawda główny nurt się nie zmieni, ale do wąskiego kanału trafi tyle wody ile jest w stanie on pomieścić. Zatem wody wypływającej do rozwidlenia będzie więcej, dokładnie tyle ile suma obu nurtów. Zaś łączny opór stawiany przez oba koryta rzek (albo przepustowość) zmaleje, bo w końcu przepływa łącznie więcej wody.

Dokładnie to samo można zaobserwować w elektronice – suma prądów w węźle opisana jest prawem Kirchoffa. Pytanie tylko jak zmienia się rezystancja?

Do baterii 5 V podłączamy rezystor 220 Ω czyli o dość małym oporze. Równolegle dodajmy rezystor o względnie dużym oporze np. 10 kΩ. Jak się zachowa prąd? 10 kΩ jest tak duże że można potraktować je jak nieskończoność czyli rozwarcie, zaś 220 Ω jest tak małe jak zwarcie - wtedy w przepływie prądu dominujący wpływ ma rezystor 220 Ω. Lecz ten o dużym oporze też coś wnosi. Pewna część prądu przepływa przez niego, zwiększając całkowity prąd płynący w układzie rezystorów. Stąd rezystancja połączenia równoległego jest widziana w całości jako mniejsza od najmniejszego z rezystorów (220R) bo została pomniejszona przez wpływ rezystora o większym oporze.

Stosunek ten opisany jest wzorem w postaci ogólnej:

1/R_z = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ + ...

Który często ograniczamy tylko dla układu 2 rezystorów i dla wygodny przekształcamy do postaci:

R_z = 1/(1/R₁ + 1/R₂)

i ostatecznie takiej:

R_z = (R₁ * R₂)/(R₁ + R₂)

Jak łatwo go zapamiętać? Ja zawsze przypominam sobie jeden typowy przypadek – co wyjdzie, gdy połączę równolegle 2 rezystory 1 kΩ? Wynikowa rezystancja wyniesie połowę jednego z nich! We wzorze musi wyjść 1/2 czyli (1*1) / (1+1).

Przypadek ten jest przypadkiem granicznym i warto o nim pamiętać, bo z założenia rezystancja zastępcza połączenia równoległego jest zawsze mniejsza od najmniejszej rezystancji. Zaś granice można ustalić w ten sposób:

jeżeli zwiększać większą rezystancję to dążymy do nieskończoności (rozwarcia) i wypadkowa rezystancja równa jest tej mniejszej,
jeżeli zmniejszać rezystancję, to dojdziemy do przypadku, gdzie oba rezystory są tej samej wartości i wynik to połowa jednej z nich.

W połączeniu równoległym wartość wypadkowej rezystancji zawrze się w przedziale wartości od połowy rezystancji mniejszej do rezystancji mniejszej.

Wnioski

W połączeniu szeregowym rezystancja wypadkowa to suma rezystancji, gdzie prąd płynie ten sam przez oba rezystory. W połączeniu równoległym rezystancja wypadkowa będzie mniejsza od mniejszej z rezystancji i na pewno nie mniejsza niż jej połowa, zaś prąd wpływający na układ rezystorów zależy od sumy prądów każdego z nich.

Dzielnik napięcia

W przypadku budowy dzielnika dobrze jest wyprowadzić wzór. Zacznijmy od wyznaczenia prądu płynącego w obwodzie składającego się z baterii o napięciu U_zas oraz 2 rezystorów R₁ przy plusie i R₂ przy masie:

U_zas= I*R₁ + I*R₂

I = U_zas / (R₁ + R₂)

Tu dobrze jest zapamiętać, że przez oba rezystory płynie ten sam prąd (pomijamy pobór prądu przez odbiornik napięcia wyjściowego).

Dobrze, teraz jak wyznaczamy wzór na napięcie na wyjściu dzielnika (na rezystorze R₂

U_wy= R₂ * I = R₂ * U_zas / (R₁ + R₂) = U_zas * R₂ / (R₁ + R₂)

I teraz jak dobrać rezystory w dzielniku? Załóżmy że na wejściu jest 12 V a chcemy uzyskać 5 V. Możemy przekształcić wzór:

U_wy/ U_zas = R₂ / (R₁ + R₂)

5/12 = R₂ / (R₁ + R₂)

Czyli musimy dobrać rezystory tak by uzyskać stosunek 5/12. Nasz dzielnik będzie działać przy akumulatorze więc weźmy za R₂ rezystor 100 kΩ aby ograniczyć pobór prądu i sprawdźmy jaki wyjdzie drugi:

5/12 = 100 kΩ / (R₁ + 100 kΩ) → R₁ = 140 kΩ

Zgadza się, zatem tak wygląda nasz układ:

Tylko akurat rezystorów 140 kΩ nie ma, mam same 100 kΩ. Mogę np. z 2x 100 kΩ zbudować 1x 50 kΩ, dodać w szereg kolejny 100 kΩ i jest 150 kΩ. Tylko jak to wpłynie na układ? Sprawdźmy skrajny przypadek – jeżeli R₁ mocno zmniejszymy tak, że będzie dążyć do 0 Ω, to wtedy w mianowniku pojawi się samo R₂. Tu dla wtajemniczonych granica do policzenia

U_wy= U_zas * R₂ / (R₁→0 Ω + R₂) = U_zas

Czyli im mniejszy opór R₁ tym większy wpływ ma napięcie zasilania. Im opór rezystora przy plusie jest mniejszy tym większe napięcie na wyjściu (aż do równości podczas zwarcia z zasilaniem). Zatem w tym przypadku zwiększając rezystancję R₁ bardziej odcinamy się od napięcia wejściowego czyli napięcie na wyjściu będzie niższe. To dobrze! Bo jeżeli ma to trafić na układ ze ścisłą tolerancją to lepiej żeby napięcie było za niskie. Sprawdźmy jeszcze czy się zgadza:

U_wy= 12 V * 100 kΩ / (150 kΩ + 100 kΩ) = 4,8 V

Faktycznie napięcie jest niższe. A co się stanie jakby zmniejszyć rezystancję R₂? Znowu sprawdźmy skrajny przypadek:

U_wy= U_zas * R₂→0 Ω / (R₁ + R₂→0 Ω)

W praktyce oznacza to że zwarliśmy wyjście do masy i tak też wyjdzie z obliczeń. W mianowniku jest coś większego od zera wiec można dzielić, a w liczniku coś dąży do zera, to wynik też dąży do 0.

U_wy= 0 V

Czyli im mniejszy R₂ tym większy ma wpływ masa układu.

Jest to tylko takie porównanie. W praktyce na rezystorze R₂ o małym oporze odkłada się mniejsze napięcie. Należy też wziąć pod uwagę, że sumaryczny opór również się zmniejsza przez co przez rezystory popłynie większy prąd. Zgodnie z prawem Kirchhoffa dotyczącym napięć w oczku, napięcie na rezystorze R₁:

U_R1 = U_we - U_R2

Jako że po teoretycznym zmniejszeniu oporu R₂, U_R2 spadło o jakieś ΔR to o te samo ΔU_R wzrośnie U_R1 tak by:

U_we = U_R2- ΔU_R + U_R2 - ΔU_R

Margines bezpieczeństwa

Zaprojektowaliśmy układ ale zapomnieliśmy, że w akumulatorze 12 V jest w teorii, a tak naprawdę może być tam nawet 15 V. Jak poprawić układ?

Po pierwsze trzeba przyjąć, że może być gorzej niż myślimy, w elektronice pesymizm jest mile widziany. Załóżmy że teraz napięcie wejściowe może wynieść aż 16 V, a na wyjściu ma być 5 V, ale najlepiej nieco mniej na wszelki wypadek.

Nie można jednak przesadzać! W tym przypadku wyjście dzielnika podpięte jest do ADC Arduino i im większa będzie rozbieżność od wartości maksymalnej tym mniejszy zakres ADC wykorzystujemy. W konsekwencji pomiary będą mieć gorszą rozdzielczość.

Dysponujemy dalej rezystorami 100 kΩ i tym razem dajmy 100 kΩ jako R₁. Przekształćmy wzór, pomińmy upraszczanie i wyznaczmy wartość:

R₂ = (U_wy/U_we) / (1 - U_wy/U_we) * R₁ = 45,5 kΩ

Złożymy taki rezystor? Wiemy, że:

z 2 identycznych rezystorów połączonych równolegle zrobimy nowy o wartości o połowę mniejszej, czyli 50 kΩ,
w połączeniu równoległym większy rezystor wpływa na mniejszy, tak że można manipulować rezystancją. Rezystancja zastępcza zawrze się w przedziale od połowy rezystancji mniejszego do rezystancji mniejszego czyli tu od 50 kΩ do 100kΩ, czyli nie pasuje.

Weźmy zatem układ z 2 rezystorów połączonych równolegle, rezystancja zastępcza to 50 kΩ.

Opór jest większy, ale czy to źle? Jest to rezystor R2 czyli ten przy masie. Ma większy opór, zatem masa bardziej mniej wpływała na wynik czyli napięcie na wyjściu będzie większe niż 5V Dużo?

U_wy= 16 V * 50 kΩ / (100 kΩ + 50 kΩ) = 5,33 V

To już trochę jest, ale z drugiej strony wzięliśmy już bezpieczny margines. Jeżeli dla 16 V na wyjściu jest 5,33 V to z proporcji widać że dla 5 V jest nieco ponad 15 V na wejściu, czyli trochę groźnie.

Czy da się coś z tym zrobić? Zamiana R1 z R2 nie ma sensu. Patrząc jednak na powyższy wzór widać, że wystarczy nieco podciągnąć R1 (100 kΩ) aby było dobrze. Tylko żeby uzyskać coś małego trzeb dać 4 rezystory 100 kΩ żeby uzyskać 25 kΩ. W wyniku uzyskamy napięcie maksymalne 4,57 V przy użyciu 7 rezystorów.

A gdyby tak przeskalować R1 i R2 dwukrotnie i do R1 dodać jeszcze 100 kΩ? uzyskamy wtedy stosunek:

100 kΩ / (300 kΩ + 100 kΩ) = 1/4

Napięcie wyjściowe wyniesie 4 V i użyjemy 5 rezystorów, ale czy warto?

Wnioski

Na pewno warto zapamiętać, że w dzielniku im mniejsza rezystancja opornika przy masie tym niższe napięcie na wyjściu, zaś im niższa rezystancja przy zasilaniu tym wyższe napięcie na wyjściu. Warto przy tym pamiętać żeby nie przesadzić ze zmniejszaniem i brać pod uwagę bezpieczny margines napięcia uwzględniając projektowany układ.

Końcowe próby są bardziej teoretyczne. Napisałem to dlatego, żeby początkujący nauczyli się kombinować. Jeżeli coś nie działa, nie zgadza się ze wzorem to spróbować przekształcić, dodać poprawkę, podmienić coś i za każdym razem skonfrontować z rzeczywistością. Nie należy od razu rozkładać rąk i wołać o pomoc na forum tylko najpierw spróbować własnych sił jest szansa, że się uda, a nawet jeżeli stracimy cenną godzinę to uczymy się czegoś na całe życie!

Edytowano Styczeń 1, 2021 przez Gieneq