Impedancja zastępcza w układzie RLC

[Nikto0]

Z jakiego wzoru jest liczona impedancja zastępcza w przykładzie w załącznikach?

[FlyingDutch]

Ponieważ jest one wypadkową trzech składników: rezystancji (część rzeczywista) i dwóch reaktancji cewki i kondensatora (wielkości urojone).

Pozdrawiam

[H1M4W4R1]

Albo jestem głupi albo w 11.121 jest błąd, bo niżej jest j5, co zgadza się z moimi szybkimi wyliczeniami... A w 11.120 zamiast Z_L (11.119) podstawione jest (wprawdzie już poprawnie) Z_C... 

[Nie gwarantuję poprawności] Z tego co mi się kojarzy rezystancja to impedancja, tylko w przypadku prądu stałego składowe urojone się negują.
Zgodnie z moją teorią liczy się tak samo jak łączenie rezystorów, z tym, że używasz liczb zespolonych.

Edytowano Czerwiec 22, 2021 przez H1M4W4R1

[Nikto0]

@FlyingDutch A możesz dokładnie opisać skąd się wziął wzór bo próbowałam to liczyć jak rezystancje zastępczą zwykłą ale mi nie wychodzi

[Gieneq]

@Nikto0 Najpierw musisz zrozumieć do czego jest to  wszystko, trochę się rozpisze, może się komuś jeszcze przyda  

W układach prądu przemiennego (czyli tam gdzie prąd/napięcie zmieniają się sinusoidalnie - czyli nie są to zadania z kluczami czy prądem stałym) możesz zdefiniować np prąd i(t) i wykreślić jego przebieg w dziedzinie czasu. A jak wygląda napięcie, albo moc? 

Gdyby analizowany układ składał się z samego rezystora (element liniowy, bez inercji, nie magazynuje energii) to napięcie będzie się zmieniać zgodnie ze zwykłym prawem ohma: prąd rośnie -> napięcie rośnie. Przebiegi na oscyloskopie będą tylko przeskalowane w pionie.

Gorzej jest z cewkami i kondensatorami, elementy te cośtam całkują, zbierają energię, powodują jakieś przesunięcia w czasie prądu względem napięcia. Te wszystkie obliczenia jak pisał @H1M4W4R1 da się zrobić w dziedzinie czasu... ale jest to trudniejsze. Np jeżeli i(t) = 5*sin(w*t + φ) to napięcie na kondensatorze w chwili t wyrazi się wzorem:

Jak umiesz całkować to zrobisz  

Jak nie, to z pomocą przychodzą liczby zespolone i tu musisz nabrać ogłady jak co się nazywa. W ogólności opór zespolony Z nazywa się impedancją i jest to część rzeczywista + j urojona. Na płaszczyźnie zespolonej są to 2 współrzędne:

• rzeczywista na osi poziomej Re,
• urojona na osi pionowej Im.

Liczba Z tak jak masz w książce przyjmuje postać: Z = Re{Z} + j Im{Z}

Zapis Re{Z} i Im{Z} oznacza część rzeczywistszą / urojoną liczy Z, tak jak ze zwykłej trygonometrii możesz wyznaczyć moduł liczby Z (długość przeciwprostokątnej w trójkącie o bokach Re{Z} i IM{Z}) oraz kąt tzw. fazę. I teraz mając tę wiedzę, uświadamiasz sobie że moduł wpływa na amplitudę, a ten kąt na przesunięcie w fazie)  

I jak masz te wzory to właśnie to oznacza:

• Z_R = R - Impedancja jest czysto rzeczywista ZR = R + j0 - brak części urojonej. Rezystor wpływa na amplitudę, nie na fazę, na płaszczyźnie pozioma linia.
• Z_L = 0 + jwL - Impedancja cewki, im większa pulsacja i indukcyjność tym mniejsza część urojona impedancji cewki (zwana reaktancją X_L)
• Z_C = 0 + 1/jwC lub = 0 -j 1/wC -Impedancja kondensatora (1/j = -j dziwne, ale tak to działa).

Warto zauważyć, że reaktancja (X) to część urojona impedancji (Z). Czyli w ogólności: X = Im{Z} dla Z = R + jX

Jak widać idealny kondensator/cewka nie mają oporu rzeczywistego - jeżeli nie ma strat to nie marnują energii, prąd w układzie będzie ładował i rozładowywał kondensator w nieskończoność.

Ważne jest tu, żeby pamiętać o tym co one robią - na płaszczyźnie zespolonej ich impedancja idzie albo w górę (cewka), dół (kondensator). Wyobraź sobie kondensator w dziedzinie czasu. Startujesz z ładowaniem, od napiecia 0V i sinusoidą idziesz do napięcie 1V. Co się dzieje z prądem? Najpierw jest bardzo duży, a później spada aż do 0A. Obserwując przebiegi można zapisać coś takiego:

• u(t) = sin(wt),
• i(t) = sin(wt + π/2).

Mówimy zatem, że na kondensatorze prąd wyprzedza napięcie o π/2 czyli 90* - stąd pionowa linia (tzw. wskaz) na płaszczyźnie zespolonej. W cewce jest - π/2 czyli prąd jest opóźniony - wskaz idzie w dół.

Więc jeżeli masz impedancje, poskładasz z tego rezystor o jakimś dziwnym oporze składającym się z części rzeczywistej i urojonej to masz informację o tym w jaki sposób przesunięte będą prąd i napięcie względem siebie, stąd możesz wyznaczyć np. moc szczytową itp, moc czynną (Re), bierną(Im) itp.

O czym jeszcze warto wspomnieć. Jak wyszedł wynik w zadaniu Z = 2,5 + j2,5 to jak tego użyć. Na płaszczyźnie rysujesz współrzędną (2,5, 2,5) i łączysz z 0. Wychodzi z tego że moduł Z (zapisywany |Z|) jest |Z| = 2,5*sqrt(2), a przesunięcie w fazie φ = 45* czyli π/4. Możesz teraz posłużyć się innym zapisem liczby zespolonej:

Z = |Z| * e^φ

Taki zapis może być bardziej przydatny  skąd to wynika, to już trzeba pogadać z panem Eulerem.

Tez uwaga, wyszły ładne liczby. Ale pamiętaj że to jest w jednym przypadku - dla tej samej częstotliwości i(t). Jeżeli częstotliwość (czy też pulsacja) zmieni się, to impedancja też się zmieni. Wiedząc też, że masz sporą reaktancję (Im) możesz ją skompensować żeby nie zużywać mocy biernej - czasem zauważysz w sprzętach jakieś kondensatory albo cewki. Np w zasilaczu o typowo pojemnościowym charakterze, może być cewka kompensująca reaktancję zmniejszając moc bierną. Ale to inny temat...

Też taka inna uwaga, ale tego możesz w zadaniach nie potrzebować. Przechodząc z dziedziny czasu do zespolonej, można się zastanawiać jak zapisać prąd. W zadaniach można się spotkać że prąd to np I = 5 +j2 i przechodząc do dziedziny czasu uwzględniamy tylko jedną część, bo liczba zespolona reprezentuje zależność napięcia od prądu.

Oby to Ci w czymś pomogło, na pewno musisz zrozumieć liczby zespolone, reprezentacje, działania i terminologię - co to X co to Z itp. Nie jestem w tym temacie ekspertem, ale to powinno nieco nakreślić pewne niuanse  

 

 

Edytowano Czerwiec 23, 2021 przez Gieneq

[Nikto0]

może ktoś po kolei napisać jak obliczyć impedancję zastępczą w tym przykładzie? To o czym pisał H1M4W4R1.

Edytowano Czerwiec 23, 2021 przez Nikto0

[H1M4W4R1]

W dziedzinie czasu:

ω = 100 rad/s
L = 0.05H
C = 0.002F
R = 5 Ohm

1. Wyznaczamy reaktancje
X_L = ωL = 100*0,05 = 5 Ohm
X_C = ωC = 1/(100*0.002) = 5 Ohm

2. Wyznaczamy impedancje komponentów
Z_L = j * (X_L) = j5
Z_C = -j * (X_C) = -j5
Z_R = R = 5

3. Wyznaczamy impedancję zastępczą
Z_ = Z_L + 1/((1/Z_R) + (1/Z_C)) = Z_L + (Z_R * Z_C) / (Z_R + Z_C)
Z_ = j5 + (5 * -j5)/(5 - j5) = j5 + (-j25)/(5-j5) = 5/2 + j5/2 [Ohm]

Ta sama metoda została użyta w podręczniku.

Edytowano Czerwiec 23, 2021 przez H1M4W4R1

[Nikto0]

Mi to nie wychodzi a może ktoś podać jeszcze dokładniej rozpisane ze wzorem? drugą linijkę można zignorować bo tam przepisałam tylko wynik

Edytowano Czerwiec 23, 2021 przez Nikto0

[H1M4W4R1]

błąd w pierwszej linijce; Powinno być:

Obstawiam, że to zwykły błąd w przepisywaniu, bo jednak tych nawiasów tam nastukałem trochę...

Podstawy łącznia "rezystorów" równolegle i szeregowo  Na żółto zaznaczono uproszczenie (połączenie dwóch impedancji równolegle). Ten wzór można wyprowadzić w pamięci mnożąc mianownik dużego ułamka naprzemiennie.

Reszta to tylko podstawianie, skracanie i upraszczanie.

EDIT: zgubiłem podkreślenie przy drugim Z_L, jak coś to powinno tam być  

EDIT2:

Jeszcze źródło tego rozwiązania (nie brać tego dosłownie, to tylko metafora ułatwiająca zrozumienie)

Edytowano Czerwiec 23, 2021 przez H1M4W4R1

[Nikto0]

Dziękuję

[Nikto0]

A jak jest z tym domniemanym błędem w książce o którym pisał H1M4W4R1 w 18:10?

[H1M4W4R1]

Pomogę wskazując co mam na myśli:

Te dwie rozbieżności...

[Nikto0]

Ktoś wie dlaczego tak jest zapisane w książce?

[Gieneq]

@Nikto0 jeżeli pytasz o to co wskazał @H1M4W4R1 to odpowiedź jest prosta - bo tak  

Zbiory zadań często maja drobne błędy, które wynikają z tego, że ciężko się takie wyłapuje.
Może pomoże:

Edytowano Czerwiec 25, 2021 przez Gieneq