Jak podłączyć diodę "like a bos" – metoda prostej obciążenia

[Gieneq]

Da się zauważyć, że gdy początkujący opanuje używanie miernika, zrozumie prawo Ohma, Kirchhoffa, zbuduje kilka układów z sygnalizatorami działania w postaci diod świecących, to wpada w pułapkę wyznaczania prądu czy napięcia w układach z diodami.

Domyślam się, że odsyłanie kogoś do noty katalogowej, rysowanie potwora z Loch Ness lub uciekanie od tematu pisząc, że to trudny temat i kiedyś go może zrozumiesz, to nie są dobre sposoby. Dlatego spróbuję opisać temat tak prosto jak tylko potrafię, ale bez pomijania szczegółów. Szykujcie się na długą lekturę 😅

Jak działa rezystor?

Jak działa rezystor? Z kursu elektroniki poziom 1 wiesz, że rezystor do którego końców przyłożono napięcie, ogranicza prąd i grzeje się pod wpływem płynącego przez niego prądu. Prąd, napięcie i opór wiąże prawo Ohma:

Opór R to właściwość materiału, z którego wykonany jest rezystor (np. folii węglowej lub tlenku metalu), więc rezystancja jest wartością stałą. Jeżeli jest stałą, to widzimy, że zostały nam 2 zmienne: napięcie i prąd:

• jeżeli znamy prąd to znamy napięcie,
• jeżeli znamy napięcie to znamy prąd.

Tak jak w definicji prawa Ohma: "Stosunek napięcia i natężenia jest liczbą stałą". Czyli napięcie i natężenie jest ze sobą ściśle powiązane. Jak to można zobrazować?

Jeżeli przekształcimy wzór mnożąc przez I i dzieląc przez R:

to uzyskamy wzór na prąd - zmieniamy napięcie, jednoznacznie zmienia się prąd.

Jeżeli mamy wzór i są tam 2 zmienne to bez problemu można ułożyć z nich funkcję:

To co jest po lewej stronie oznacza: Wartość prądu w funkcji napięcia, czyli odpowiedź na pytanie: "Jak zmienia się prąd, jeżeli zmieniam napięcie?". Jest to tylko inny zapis wskazujący co chcemy wyznaczyć, a co będziemy zmieniać.

Przykład z życia: głośnik z pokrętłem z napisem volume; kręcimy pokrętłem, to zmienia się natężenie dźwięku czyli głośność. Mamy tu funkcję postaci: głośność(volume).

OK, to teraz odwołajmy się do szkoły średniej - jakie są sposoby przedstawienia funkcji? Pierwszy to wzór - ten już mamy. Drugi to wykres. Narysujmy zatem wykres, ale przed tym poczyńmy pewne założenia:

• R1 = 100Ω,
• Uwe zmienia się od 0 do 10 V.

Schemat układu testowego może wyglądać tak:

 

Schemat został sporządzony w programie LT Spice, Uwe to źródło napięcia (np. bateria, którą spotkałeś w kursie EL1). Rezystor R1 po prawej jest zobrazowany symbolem amerykańskim. Trójkąt skierowany do dołu to symbol masy (tylko trochę inny).

W tym eksperymencie zmieniamy napięcie Uwe od 0 do 10 V i obserwujemy jaki popłynie prąd przez rezystor R1:

 

Wykres jest linią prostą - nic dziwnego, funkcja prądu I(U) jest funkcją liniową 🙂 Jak odczytać ten wykres? To co jest na osi poziomej to napięcie na rezystorze (tu identyczne co napięcie na baterii). Na osi pionowej jest pomierzony (tu zasymulowany) prąd. Kręcę gałką napięcia, zmienia się prąd płynący przez rezystor.

Połączenie 2 rezystorów

Znowu powtórka? Trochę tak, ale będzie też coś nowego 😉 Jak nie znasz tematu, zapraszam do kursu o łączeniu rezystorów. Na początek schemat 2 szeregowo połączonych rezystorów:

 

Znowu interesuje nas wzór funkcji prądu od napięcia zasilania. Zaczynamy od znanego faktu: suma napięć w oczku jest równa zero. Czyli po przekształceniu wyjdzie:

 

Wiemy z prawa Ohma, że napięcie każdego z rezystorów to:

więc podstawmy to do wzoru na napięcie wejściowe Uwe i wyciągnijmy I przed nawias:

 

Jeżeli podzielimy stronami przez sumę rezystancji, to uzyskamy wzór na prąd w obwodzie:

 

Gotowe, prąd po lewej, napięcie zasilania i stałe po prawej. Zapiszmy to jako funkcję:

 

Wykres będzie znowu linią prostą tylko o mniejszym nachyleniu – opór jest 2x większy więc prąd będzie 2x mniejszy:

Wybierzmy jakąś wartość napięcia, np. 9 V – jaki popłynie prąd?

Czyli dla napięcia zasilania Uwe = 9 V w obwodzie popłynie prąd I = 45 mA.

Skomplikujmy sprawę

W sposób algebraiczny da się wyprowadzić wzór na prąd. Przyjrzyjmy się schematowi układu jeszcze jeden raz:

 i załóżmy że rezystor R2 jest jakiś dziwny i nie spełnia prawa Ohma, czyli nie stosujemy podstawienia:

Dlaczego pomijamy prawo Ohma skoro można je użyć? Dlatego, że za chwilę będzie trzeba z tego zrezygnować, gdy podłączymy diodę zamiast R2.

Zapiszmy to co wiemy:

Czy da się obliczyć prąd jaki płynie w tym układzie? Bez pomocy na pewno się nie uda.

Zgadywanie

W poprzednim wzorze widzimy, że dysponujemy 2 zmiennymi:

• prądem I płynącym w obwodzie,
• napięciem U_R2 na rezystorze R2.

Rozwiązanie tego zadania jest możliwe, jeżeli wiemy jak zachowuje się rezystor R2. Jak do tego dojść bez znajomości prawa Ohma? Na szczęście mamy coś jeszcze – wykres działania rezystora, który wyznaczyliśmy wcześniej:

Jak można tego użyć? Jeżeli wybiorę sobie wartość napięcia na rezystorze z poziomej osi, to wykres wskaże jaki prąd płynie przez ten rezystor. Więc jeżeli wezmę ten wzór:

i wymyślę sobie napięcie U_R2, znajdę je na wykresie, odczytam prąd i podstawie do wzoru, to jeżeli wzór będzie poprawny (prawa strona = lewej stronie) to mamy wynik!

Załóżmy, że na rezystorze R2 jest spadek napięcia 6V, wtedy wzór przyjmuje taką postać:

Teraz patrzę na wykres dla pojedynczego rezystora, szukam 6V i sprawdzam prąd jaki płynie przez ten element:

odczytuję 60 mA, podstawiam i czy mamy równość?

Aj.. dużo za dużo. Czyli pewnie napięcie jest mniejsze. Może 4 V?

stąd:

czyli za mało, ok to może 4,5 V?

podstawiam 4,5 V i 45 mA i...

Udało się! Czyli w tym obwodzie płynie prąd 45 mA, a na rezystorze odkłada się 4,5 V – tyle ile wyliczyliśmy algebraicznie.

Metoda prostej obciążenia

Udało się odgadnąć wynik, ale jak łatwo się domyśleć nie tak się to robi 😉 Lepiej użyć do tego metody prostej obciążenia.

W metodzie tej, wystarczy że mamy wzór wiążący prąd i napięcie na badanym elemencie i znamy jego charakterystykę prądowo-napięciową. Prześledźmy to na przykładzie.

Korzystamy z tego samego wzoru co poprzednio:

i obliczamy wartość prądu i napięcia dla skrajnych przypadków:

wartości te nanosimy na wykres prądu(napięcia) na rezystorze (jego charakterystykę prądowo-napięciową) i prowadzimy przez nie prostą – tzw. prostą obciążenia:

Punkt przecięcia prostej obciążenia z charakterystyką prądowo napięciową jest odpowiedzią!

Czyli znowu ten sam wynik 4,5 V i 45 mA, gotowe i to bez znajomości prawa Ohma 🙂 Jak widać metoda działa, należy tylko znać charakterystykę obiektu.

Odkładamy rezystory (ale jeden może lepiej zostawić) i dowiedzmy się czegoś o diodzie, z którą zaraz się zmierzymy.

Dioda krzemowa

Po pierwsze weźmy na tapetę diodę krzemową 1N4148, którą masz w  zestawie. Dlaczego nie LED? LEDy łatwiej uszkodzić. Otwieramy dokumentację firmy On Semiconductor, czyli taki zbiór pomiarów i wykresów i patrzymy co tam jest.

Patrzymy na grafikę – "zwierz" podobny, można iść dalej:

Tabela o tym co zrobić żeby zepsuć diodę - graniczne parametry:

Jak spojrzymy na nagłówek tabeli, to po prawej stronie jest informacja, że dane te zmierzono w temperaturze 25°C. Dlaczego jest to ważne? Parametry diody są silnie zależne od temperatury.

W samej tabeli bardzo istotna informacja to "DC Forward Current" czyli ciągły prąd przewodzenia, który nie może przekroczyć 300 mA, bo inaczej dioda po chwili się spali.

W dalszej części mamy tabelę opisującą maksymalny spadek napięcia na diodzie "Forward voltage = 1 V", gdy płynie przez nią 10 mA:

Podkreślam, w dokumentacji wskazano maksymalny spadek napięcia 1 V, typowo jest to około 0,7 V.

W ramach ciekawostki jest zaznaczony drobny prąd, który płynie przez diodę w stanie zaporowym "Reverse current = 0.025 µA = 25 nA". Warto zwrócić uwagę na silną zależność tego prądu od temperatury - przy zmianie o 125°C prąd wsteczny wzrósł 2000x!

Z tego wszystkiego interesuje nas maksymalny prąd 300 mA i spadek napięcia może nie 1 V ale 0,7V.

Krzywa obciążenia układu z diodą

Zazwyczaj zadania z diodą rozwiązuje się przybliżając rzeczywistość. Sprawdzamy czy napięcie przyłożone do diody przekracza przybliżone napięcie przewodzenia diody:

• dla diody krzemowej 0,7 V,
• dla diody germanowej 0,3 V

i jeżeli tak jest, to odejmujemy ten spadek od napięcia zasilania i liczymy prąd z prawa Ohma. A co jeżeli chcemy być bardziej skrupulatni. Użyjmy metody prostej obciążenia.

W dokumentacji powinniśmy znaleźć charakterystykę prądowo-napięciową diody; jedna została nawet umieszczona w kursie:

Jeżeli ta w dokumentacji nam się nie podoba, bo jest nieczytelna, to możemy wykreślić własną w podobny sposób co przy pomiarach rezystora. Zbudujmy układ podmieniając R2 na diodę:

i wyznaczmy charakterystykę powoli zmieniając napięcie zasilania i mierząc prąd oraz napięcie na diodzie:

Widać wyraźnie, że charakterystyki są podobne, a ten 1 V max to jest gdzieś bardzo daleko.

To teraz zadanie: gdy Uwe = 5V, jaki prąd płynie w obwodzie?

Czyli mamy 2 punkty do zaznaczenia na charakterystyce:

• 0V i 50 mA,
• 5V i 0 mA

50 mA udało się bez problemu, ale 5V... wykres kończy się na niecałym 1 V. Co teraz?

Faktycznie, gdybyśmy rozciągnęli wykres byłoby prościej:

Trochę nieczytelne, ale zaraz to poprawimy 😉 Wyszło, że napięcie wyniesie 0,775 V, a prąd to 42,2 mA. Czy tak jest w rzeczywistości?

U_D = U(a) - U(k) = 0,778 V, prąd ID = 42 mA. Naprawdę blisko! 😮 

Ale rysowanie takiej prostej nie jest wygodne, co z tym zrobić?

Równanie prostej

Przypomnijmy sobie jak wygląda równanie proste:

b to współczynnik oznaczający przecięcie prostej z osią Y, a jest współczynnikiem nachylenia i jego wartość to tg (tangens) kąta α:

Naszą prosta obciążenia da się w ten sposób wyznaczyć, dlatego że znamy 2 punkty i to bardzo charakterystyczne:

Już wyjaśniam 🙂 współczynnik b jest punktem przecięcia z osią Y. Współczynnik a wyznaczamy z definicji tangensa, a wynik wyszedł w milisimensach. Ujemnych? Funkcja jest malejąca więc współczynnik musi być ujemny. Simens jest odwrotnością oma, równie dobrze możemy zapisać to tak:

Teraz możemy wybrać dowolny punkt na tej prostej, który posłuży nam jako punkt pomocniczy w narysowaniu wybranego odcinka. Weźmy np. punkt dla napięcia U_D = 0,81 V (dlatego że jest na podziałce wykresu).

Zaznaczamy ten punkt pomocniczy i rysujemy fragment prostej obciążenia:

Udało się! Jak widać metoda prostej obciążenia dalej działa i to bardzo dobrze.

Wzory wzory...

A co gdybyśmy chcieli rozwiązać takie zadanie wzorem, przecież istnieje wzór opisujący diodę. Tak zgadza się, jest taki wzór:

Sporo zmiennych, dla kogoś niezaznajomionego z fizyką będzie to bardzo trudne w zrozumieniu, ale spróbujmy 🙂 

• I_D – prąd jaki płynie przez diodę,
• U_D – napięcie jakie odkłada się na diodzie (spadek napięcia),
• I₀ – prąd nasycenia złącza przy braku oświetlenia,
• q - ładunek elementarny 1,602 176 634×10⁻¹⁹ C,
• k – stała Boltzmana 1,38×10⁻²³ J/K
• T – temperatura w kelwinach [K],
• n – współczynnik idealności diody pomiędzy 1 a 2.

Wartości stałych są znane i można je połączyć w tzw. potencjał elektrokinetyczny U_T = 25,5 mV, wtedy wzór się nieco upraszcza:

Tylko co z pozostałymi zmiennymi I₀ i n? Niestety ale są one związane z konkretnym egzemplarzem diody, dlatego w dokumentacji są podawane wartości graniczne. Polecam zapoznać się z tą stroną, na której przy pomocy suwaków można sprawdzić jak zmienia się charakterystyka przy zmianie paramentów I₀ i n:

Dla chętnych polecam dopasować krzywą I_D do pomiarów i wyznaczyć ww. parametry, a następnie ułożyć układ równań ze wzoru na diodę i prostej obciążenia i wyznaczyć prąd i napięcie w układzie. Tak da się 🙂 

Przykład z LED

Wreszcie upragniony LED. Tylko mały problem... skąd wziąć do niego dokumentacje?

Z opisu produktu wiele się nie dowiedzieliśmy, co prawda mamy tabelkę z kursu:

i zakładamy że przez diodę płynie 20 mA, ale już wiemy, że da się podejść do tego inaczej. Zróbmy własną charakterystykę prądowo-napięciową!

Charakterystyka prądowo-napięciowa LED

Montujemy układ testowy z dzielnikiem napięcia i LED:

Potencjometr może być inny, ważne aby przez diodę udało się przepuścić od 0 do 30 mA.

Podłączamy zasilanie około 9V, u mnie jest to zasilacz laboratoryjny, ale bateria też będzie ok:

Podłączamy mierniki i powoli kręcimy potencjometrem zapisując wyniki

Wyniki zebrane w tabeli oraz wykres:

Wykres wygląda znajomo 🙂 

Zbudujmy teraz prosty układ z LED i rezystorem 1k:

I pytanie, jakie jest napięcie na diodzie i jaki płynie prąd? Bez wahania wyznaczamy prostą obciążenia. Mamy 2 punktu:

• 0mA, Uwe = 9V,
• Uwe/R1 = 9V/1k = 9mA, 0V.

Stąd równanie prostej obciążenia to:

Przyglądamy się fragmentowi wykresu, wybieramy pomocniczy punkt dla 2,5 V:

i rysujemy prostą:

Podobno ma wyjść 2V i 6,8 mA, sprawdźmy w praktyce:

Bez komentarza 😉 

Przykład z potencjometrem

Jednym z częściej pojawiających się pytań o diody świecące to połączenie z potencjometrem w takiej konfiguracji:

Niby nic skomplikowanego, ale jak się zaraz okaże do tego potrzeba trochę matematyki. Na początek pewne uproszczenie – załóżmy, że potencjometr to tak naprawdę 2 rezystory RB i RA, których stosunek wyrażamy liczbą n:

Parametr n określa obrót potencjometru, dla n=0 opór przy masie jest 0 (R_B = 0), dla n = 1 suwak potencjometru będzie w połowie, a dla n dążącego do nieskończoności opór przy zasilaniu będzie dążył do 0 (R_A = 0).

Teraz wychodząc od wzoru na sumę napięć w oczku i korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa dojdźmy do zależności:

Teraz wyznaczamy prąd I_RB:

Teraz przypominamy sobie wzory na n i R_A:

Mamy wzór 🙂 Da się go osiągnąć na różne sposoby. Jeżeli się przyjrzymy to jest to funkcja liniowa.

Wybierzmy przypadek, że n = 1, oraz P = 10k, Uwe = 9 V. Wyznaczymy punkty:

Stąd wyznaczmy wzór na prostą obciążenia:

Dla 2,5 V mamy prąd I_D = 8mA, zaznaczamy:

Zrobione 🙂 2,05 V i prąd 10,9 mA.

Wnioski

Jak widać wyznaczanie napięcia i prądu diod to nie takie proste zadanie. Oczywiście, jeżeli dioda ma być wskaźnikiem występowania napięcia to nikogo nie interesuje jaki dokładnie płynie przez nią prąd, byle by była widzialna, jednak wniknięcie w temat na pewno pomoże zrozumieć działanie układów z diodami.

 

Edytowano Luty 3, 2022 przez Gieneq

[Gieneq]

Wiem... overkill, ale przyda się taki artykuł 🙂 

@jugan1 obiecałem, to napisałem, miłej lektury. Nie jestem mistrzem prostego przekazu, także jakby coś było bardzo niezrozumiałe to postaram się doprecyzować.

[jugan1]

Zaraz się wezmę za lekturę. Aż mi głupio... Dzięki wielkie za pomoc zarówno dla Ciebie @Gieneq  jak i @H1M4W4R1 !

[H1M4W4R1]

11 minut temu, jugan1 napisał:

Aż mi głupio...

Dzięki Tobie potomni mają dobry artykuł o obliczaniu napięcia i prądu na diodzie 😉 ([sarkazm] a kolega, który go napisał pewnie już wybiera się do psychiatry, bo nikt o zdrowych zmysłach nie liczy prądu na diodzie ze wzoru [/sarkazm]). 

W każdym razie bardzo ciekawy wpis... zwłaszcza, że jak próbowałem liczyć (przed przeczytaniem) to pięć razy wyszedł mi inny wynik i nie ten prawidłowy 😄 

[Polecacz 101]

Produkcja i montaż PCB - wybierz sprawdzone PCBWay!
   • Darmowe płytki dla studentów i projektów non-profit
   • Tylko 5$ za 10 prototypów PCB w 24 godziny
   • Usługa projektowania PCB na zlecenie
   • Montaż PCB od 30$ + bezpłatna dostawa i szablony
   • Darmowe narzędzie do podglądu plików Gerber
Zobacz również » Film z fabryki PCBWay

[Gieneq]

Artykuł nie powstał dla kolegi tylko żeby usystematyzować to co wiem i właśnie dla potomnych. Kiedyś zabiorę się za coś podobnego o tranzystorach ale narazie za wysokie progi.

[H1M4W4R1]

1 godzinę temu, Gieneq napisał:

Artykuł nie powstał dla kolegi tylko żeby usystematyzować to co wiem i właśnie dla potomnych. Kiedyś zabiorę się za coś podobnego o tranzystorach ale narazie za wysokie progi.

Ale powstał przez niego 😉 Gdyby nie założył wątku ze swoim problemem prawdopodobnie artykuł powstałby znacznie później...

[piotrkmiotczyk]

"Jeśli przekształcimy R = U/I mnożąc przez I i dzieląc przez R, to dostaniemy"... I = U/R, nie?

Edytowano Styczeń 31, 2022 przez piotrkmiotczyk

[Gieneq]

@piotrkmiotczyk tak, możesz sobie zapamiętać że one się "jakby zamieniają miejscami".

[ethanak]

Dnia 12.01.2022 o 09:35, Gieneq napisał:

Jeżeli przekształcimy wzór mnożąc przez I i dzieląc przez R:

Co to za znaczek między U i R? Bo takiego znaku dzielenia/kreski ułamkowej jeszcze nie widziałem 😉

[piotrkmiotczyk]

3 godziny temu, ethanak napisał:

Co to za znaczek między U i R? Bo takiego znaku dzielenia/kreski ułamkowej jeszcze nie widziałem 😉

Może bez sarkazmu 🙂, ale o to mi chodziło - że chyba jest pomyłka w artykule. 

A poza tym chciałem powiedzieć, że to dobry artykuł i dzięki za przygotowanie! Ja czytam wszystkie te dodatkowe linki z kursu elektroniki (własnie dlatego, że odpowiedź typu 'trudny temat i kiedyś go może zrozumiesz' mi nie wystarcza).

Edytowano Styczeń 31, 2022 przez piotrkmiotczyk

[piotrkmiotczyk]

Ja tę metodę rozumiem tak, że - dla niewiadomego napięcia odkładającego sie na diodzie (U₂) i niewiadomego prądu (I) - mamy 2 funkcje: 
- fukcję I(U₂) wyprowadzamy sobie teoretycznie z prawa Kirchoffa (sumy spadków napięć.... ¹)
- funkcję i(U₂) od producenta diody

Przy czym i = I (znów ze względu na prawo Kirchoffa, ponieważ oba elementy są poł. szeregowo), dlatego możemy szukać przecięcia funkcji ² (miejsca gdzie ich wartości są równe). 

Ma to sens?


¹ po to są te przypadki krańcowe - wiemy, że wartość funkcji I(U₂)
  dla U₂ = 0, wynosi U_wej / R₁ (a oba znamy)
  dla U₂ = U_wej musiałoby teoretycznie wynosić 0, bo U_wej = I*R₁ + U_wej czyli (po skróceniu i podstawieniu) 0 = I*R₁
² współczynnik kierunkowy możemy policzyć na podstawie dwóch par x i y 
   a = ((y₂-y₁)/(x_2-x₁)) 
   z w/w punktów krańcowych: (0, I), (U_wej, 0)
^2b przecięcia mi się juz nie chciało liczyć, ale zbudowałem wykres i wygląda jak Twój 🙂, oraz podaje przecięcie - https://www.desmos.com/calculator/2ti7pifvxh

Edytowano Styczeń 31, 2022 przez piotrkmiotczyk

[Gieneq]

@piotrkmiotczyk @ethanak poprawione, błąd był w 2 miejscach na początku, później już powinno być ok.

Dnia 31.01.2022 o 19:46, piotrkmiotczyk napisał:

Ma to sens?

Tak ma to sens, jest to zwyczajny układ równań, a że dysponujemy 2 równaniami i 2 niewiadomymi to uzyskamy 1 rozwiązanie czyli punkt przecięcia. Ogólnie nie musi to być jedno rozwiązanie (patrz równanie paraboli), ale tu będzie 1 🙂 

Możesz użyć podobnej koncepcji także dla innych przykładów. Wiele układów może być uproszczonych stosując tw. Thevenina, które rozpoczyna się od identycznej metody liczenia prądu zwarcia i napięcia rozwarcia. Niedawno pisałem o tym:

Wtedy jak "zwiniesz" część układu do 1 rezystora i 1 źródła napięcia to możesz przejść do układu równań i zrobione.

Dnia 31.01.2022 o 19:46, piotrkmiotczyk napisał:

U_wej = I*R₁ + U_we

W tym miejscu chyba chodziło Ci o U_wy = ... czyli dla rozwarcia, gdzie prąd nie płynie, na wiszącym elemencie nie ma spadku napięcia to = U_we.

Prostą obciążenia możesz wyznaczyć dla różnych układów, niekoniecznie gdy masz jakieś charakterystyki. W źródłach sygnału, np. generatorze funkcyjnym, masz na wyjściu tzw. impedancję typowo 50 Ω. Impedancja to taka rezystancja, ale ogólniejsza bo też dla prądu zmiennego, który płynie w układzie generatora. Wtedy aby uzyskać idealny transfer mocy, możesz wyznaczyć prostą obciążenia wyjścia generatora, która będzie mieć nachylenie wynikające z konduktancji G = 1/50 S i przeciąć to z prostą wynikającą z impedancji wejściową dołączonego układu. Wyjdzie wtedy, że aby uzyskać idealny transfer mocy przecięcie będzie w połowie dla impedancji wejściowej też 50 Ω.

Tego typu rozważania w praktyce można stosować też przy dobieraniu głośników do wzmacniaczy audio, stąd te typowe 4 Ω, 8 Ω itp. Temat rzeka, sam się aż tak nie znam, ale ciągle się uczę 🙂 

Dnia 31.01.2022 o 19:46, piotrkmiotczyk napisał:

- https://www.desmos.com/calculator/2ti7pifvxh

Ciekawa strona, nie znałem. Dziękuję